Wahlteil 2016 – Aufgabe B 1.1
In einem Koordinatensystem beschreiben die Punkte A(15|0|0), B(15|20|0)
und C(0|20|6) Eckpunkte der rechteckigen Nutzfläche einer Tribüne (alle Koordinatenangaben in Meter).
Die x1x2-Ebene stellt den Erdboden dar.
Die Eckpunkte der Dachfläche liegen
vertikal über den Eckpunkten der
Nutzfläche. Die Dachfläche liegt in der durch E: x1-3x3=-27 beschriebenen
Ebene (siehe Abbildung).
a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Nutzfläche liegt.
Berechnen Sie den Neigungswinkel der Nutzfläche gegen den Erdboden.
Ermitteln Sie den Inhalt der Nutzfläche.
(4 VP)
b) Aus Sicherheitsgründen muss die senkrecht zum Boden verlaufende Rückwand zwischen der Nutzfläche und der Dachfläche mindestens 2,5 m hoch sein.Überprüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.
Zur Installation von Lautsprechern wird eine 5,2 m lange, senkrecht zum Erdboden verlaufende Stütze montiert. Ihre Enden werden an der Kante BC und am Dach der Tribüne fixiert.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes auf der Kante BC, in dem das untere Ende der Stütze fixiert wird.
(4 VP)
Lösung a)
Koordinatengleichung der Ebene in der die Tribüne liegt
Mit Hilfe der Punkte A, B und C kann man die beiden Richtungsvektoren
und 
bestimmen:
lässt sich aus den beiden Richtungsvektoren ein Normalenvektor bestimmen:
.
Mit dem Normalenvektor lässt sich nun eine Koordinatengleichung der Ebene aufstellen, nämlich
F: 2x1+5x3=d mit einem noch unbekannten d.
Da wir aber wissen, dass beispielsweise der Punkt A in der Ebene liegt,
können wir A einsetzen und erhalten 2·15+5·0=30=d. Damit haben wir die Ebenengleichung komplett.Ergebnis: Eine Koordinatengleichung der Ebene in der die Tribüne liegt lautet F: 2x1+5x3=30.
Neigungswinkel von F bezüglich des Erdbodens
Für den Winkel zwischen zwei Ebenen verwendet man die Winkelformel
wobei 
und
die Normalenvektoren der beiden Ebenen sind.
In unserem Fall ist 
der Normalenvektor der Ebene F.
Ein Normalenvektor für die Bodenfläche (die x1x2-Ebene) ist z.B.
.
Es gilt 
sowie 
und 
.
Einsetzen in die Winkelformel liefert
.Mit dem GTR (siehe Abbildung rechts) erhält man daraus den Neigungswinkel α≈21,8°.
(Vergessen Sie nicht, den GTR in den Modus DEGREE umzuschalten!)
Ergebnis: Die Tribüne ist um etwa 21,8° gegen den Boden geneigt.
Inhalt der Nutzfläche
An den Koordinaten der Punkte A, B und C kann man erkennen, dass die Tribüne rechtwinklig ist. Wir haben also lediglich die Fläche eines Rechtecks zu berechnen.
Es gilt
,
d.h. 
.
Weiterhin gilt
,
d.h. 
.Der Flächeninhalt des Rechtecks ist somit gegeben durch:
Ergebnis: Die Tribüne hat eine Nutzfläche von etwa 323 m2.
Lösung b)
Werden die Sicherheitsbestimmungen eingehalten?
Wir formulieren die Frage einfach um: Liegt die Dachfläche mindestens 2,5 m über dem hinteren Rand der Tribüne? Der Punkt D der Dachfläche liegt senkrecht über dem Punkt C. Somit hat D dieselbe x1- und dieselbe x2-Koordinate wie C. Wir setzen daher die x1- und die x2-Koordinate von C in die Ebenengleichung E ein und bestimmen daraus die Höhenkoordinate x3 des Punktes D und damit die des Dachs. Es folgt 0-3x3=-27 also x3=9. Der Punkt D hat die Koordinaten D(0|20|9). Das Dach liegt drei Meter über der Nutzfläche, d.h. die Rückwand zwischen der Nutzfläche und des Dachs ist überall 3 m hoch.
Ergebnis: Die Sicherheitsbestimmung, die eine Mindesthöhe der Rückwand von 2,5 m verlangt, wird eingehalten.
Verankerungspunkt der Stütze
Wir konstruieren uns eine zum Dach (genauer gesagt zur Ebene E) parallele Hilfsebene H, die genau 5,2 m unterhalb des Dachs liegt. Danach bestimmen wir eine Geradengleichung für die Gerade g, auf der die Kante BC liegt. Schließlich bestimmen wir den Schnitt von g mit H und erhalten so den Verankerungspunkt V.
Da H parallel zu E sein soll, können wir den Normalenvektor von E für H verwenden. Wir können also H: x1-3x3=d mit einem noch unbekannten d ansetzen. Nun suchen wir uns einen beliebigen Punkt P auf der Ebene E, indem wir z.B. x1=x2=0 setzen und aus der Ebenengleichung von E x3 bestimmen. Wir erhalten 0-3x3=-27 also x3=9. Somit ist P(0|0|9) ein Punkt auf E. Der Punkt P'(0|0|3,8), der 5,2 m unter P liegt muss damit ein Punkt der Hilfsebene H sein. Wenn wir die Koordinaten von P' in H einsetzen erhalten wir d und damit die komplette Gleichung von H. Es folgt 0-3·3,8=-11,4=d und damit H: x1-3x3=-11,4.
Schritt 2: Aufstellen der Geradengleichung für die Kante BC
Die Gerade g, auf der die Kante BC liegt ist gegeben durch
.Durch Einsetzen erhält man
.Schritt 3: Schnitt von g mit H
Ein Punkt P auf g hat die Koordinaten (15-15s|20|6s). Diese setzen wir ein in H und erhalten: (15-15s)-18s=-11,4 ⇔ 15-33s=-11,4 ⇔ -33s=-26,4 ⇔ s=0,8
Schritt 4: Ermittlung der Koordinaten des Verankerungspunktes V
Einsetzen von s=0,8 in g liefert
.Ergebnis: Der Verankerungspunkt V der Stütze hat die Koordinaten V(3|20|4,8).
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